Пысықтау есептерін шығаруға арналған әдістемелік нұсқаулық

1 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық

1.1. а)

;

.

б) Р-дан Q-ға қарай жүретін вектор (сурет 1.5)

,

 .

Сонымен , Р -дан Q-ге бағытталған немесе

,

Q-ден Р-ға бағытталған.

1.2. Айталық Р(х₁, у₁, z₁) және Q(х₂, у₂, z₂) осы жазықтықтың кез-келген екі нүктесі болсын. Онда  және  ал екі нүктені қосатын вектор   векторының  векторы бағытындағы проекциясы:

1.2-сурет.

жазықтықтағы кез-келген вектор болғандықтан,  осы жазықтыққа перпендикуляр (сурет 1.6).

1.3. Скалярлық көбейтіндіні ашып жазыңыз:

бұл теңдеудің оң және сол жағына   қоссақ,

теңдеуін аламыз, яғни центрі  және радиусы  болатын сфераның теңдеуі.

1.4.  көбейтіндісін қарастырайық. Жақшаның ішіндегі векторлық көбейтіндіні ашсақ,

Екінші жағынан,  десек.

сонымен,

бұдан

Бұл теңдік, егер қатты дененің орын ауыстыруы оның кез келген үш нүктесінің орын ауыстыруы бойынша өрнектелген жағдайда өте пайдалы.

1.5. Егер  нөлге тең емес константалары бар болып және  болса, онда  векторлары сызықтық тәуелді.

 теңдеуін векторлардың компоненталары бойынша ашып жазсақ:

Бұл жүйе  үшін нөлден өзгеше шешімі бар болады, егер коэффиценттер детерминаты нөлге тең болса. Яғни

  немесе   .

Берілген  векторлары үшін . Яғни  векторлары сызықтық тәуелді. Расында да .

1.6. Айталық

а) Диадтың бірінші көбейткіш  базистік векторлар арқылы жазайық:

,

онда , мұндағы j=1, 2, 3.

б) Жоғарыдағыдай – ді  түрінде жазсақ, онда , мұндағы j=1, 2, 3.

1.7. Айталық, . Онда

.

1.8. (1.71) формулаға сәйкес  және Сондықтан

және

1.9.

1.10.

1.11. Анықтама бойынша  және

Осы сияқты . Онда .

1.12.  диадтарды көбейту ережесін пайдаланамыз. Онда

Осы сияқты

1.13. -ны тоғыз мүшелі формуласында жазайық және біріктірейік.

Сонымен

1.14. 1.6-мысал есебінен  болатынын көрсетеміз.  тензорының антисимметриялығынан  және (1.40) –да

Сондықтан

1.15. , онда

.

Екінші жағынан (1.27) және (1.45) формулалардан

және

1.16.

.

1.17. (1.59) және (1.60) формулаларының көмегімен келесі векторларды тұрғызайық:

, ,,

онда

және

Тексеру үшін вектор функцияны тікелей ашсақ шешімнің ұрыс екеніне көз жеткіземіз:

1.18. Суреттегілерді тікелей проекциялау арқылы келесілерді анықтаймыз.

1.3 – сурет.

осыдан

1.19. , мұндағы  және . Онда

1.20. Анықтама бойынша Сонымен  векторы  және  векторларына перпендикуляр және сондықтан  векторына параллель, яғни   және

Сонымен біз өзара базисті табудың жалпы ережесін аламыз:

берілген  базистік векторлар үшін  және бұдан

1.21.  келесі үш қосындыны білдіреді:

1.22.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

1.23. a) Алдымен i бойынша қосындылаймыз:

одан кейін j бойынша қосындылаймыз, бірақ

Ең соңында k бойынша қосындылаймыз, 0 – ден ерекше мүшелерін қалтырамыз:

b) Алдымен j бойынша одан кейін k бойынша қосындылаймыз:

бұдан

 өрнегі  векторын өзіне-өзін векторлық көбейтіндісінің индекстік түрде жазылуы, яғни

1.24.

а)

б)

в)

1.25.

а)

Сондықтан

б)  себебі  т.с.с.

1.26. a) i=1,j=2, p=3,q=2 және k – қосындының индексі, яғни 1,2,3 мәндерін қабылдайды. Онда

б) i=1, j=2, p=2, q=1. Онда

1.27.  – ның анықтамасына сәйкес,

1.28. Берілген векторды – ге көбейтіп, 8-мысал есепте дәлелденген теңдіктерді пайдалансақ:

1.29. (1.97) формуласын келесі түрде жазайық:

1.2-суретте көрсетілгендей координаталар жүйесін келесідей белгілейік

Онда .

Сәйкесінше

Осыдан

Сонымен қоса  егер .

Мысалы:

сонымен сфералық координата

және

1.30. (1.86) формуланы  түрінде жазайық. Сонда  сызықтық элементі үшін  және  үшін , ал  үшін .

Онда 2.5-суреттегі сфералық координата үшін

1)  үшін

2)  үшін

3)  үшін

1.31.  элементінің ұзындығы , ал  элементінің ұзындығы  Онда  элементінің ұзындық квадраты  Екінші жағынан

.

Осыдан 1.30-есептің нәтижесін пайдалансақ

.

1.32. Анықтама бойынша (§3.3 қараңыз) . Суретте көрсетілген сәйкес осьтер арасындағы бұрыштар бағыттаушы косинустар таблицасын береді.

 т.с.с.

Сонымен түрлендіру тензоры

.

(1.94) векторды түрлендіру формуласы бойынша

1.33. Таблицаның бірінші жолын  бірлік векторы  келесі түрде береді: . Тура осылай  жүйе оң болу үшін  немесе . Сонымен кестенің соңғы жолы мынаған тең:

1.34.  коэффиценттері бағыттауыш коэффиценттері болатынын бірден есептейміз:

.

 ортогональдық шарты келесі шарттардың орындалуын талап етеді. 1) j=k=1 болғанда  болуы керек.  Осының сол жағы I-бағана элементтерінің квадраттарының қосындысына береді. 2) j=2, i=3 , болғанда  болуы керек. Сол жағы II-ші және III-ші бағаннның сәйкес элементтерінің көбейтіндісінің қосындылары. 3) кез келген екі бағананың сәйкес элементтерінің көбейтіндісінің қосындылары 0-ге тең болуы керек және кез келген бағана элементтірінің квадратының қосындысы 1-ге тең болу керек.

Егер ортогональдық шарты  түрінде жазылса, онда бағана орындарына жолдарды көбейтеміз.

Табылған шешім бұл талаптапдың барлығын қанағаттандырады.

1.35. (1.103) формула бойынша және есептің шарты бойынша  және  осыдан

ал бұл көрсетілген қосынды екінші рангілі декарт тензорына түрленетінін көрсетеді.

1.36. Барлық индекстер мылқау (немой) болғандықтан – лерді жазу реті ешқандай мағана бермейді. Барлық қосылғаштар бір-біріне эквивалентті. Бұны басқа мылқау индекстер енгізу арқылы оңай көрсетуге болады. Мысалы, екінші және үшінші мүшелердегі i,j,k – ны p,q,r алмастыру арқылы 

.

Енді осы қосылғыштардағы бұрынғы i,j,k қосындылау индекстеріне қайтып келсек, онда

.

1.37.  және  болғандықтан  немесе  Барлық индекстер  мылқау болғандықтан  сондықтан  немесе .

1.38.  тензорын симметриялы және антисимметриялы бөліктерге бөлейік:

.

Онда

1.39. 1) Айталық, . Онда  және егер , онда

символдық түрде былай болады:

.

2) Айталық , онда  және егер , онда  Бірақ – және j индекстері бойынша антисимметриялы, сонымен қоса көбейтіндісі де осы индекстер бойынша симметирялы. Яғни – 0-ге айналады. Осыны ашып жазсақ:

1.40. (1.52) және (1.109) формулалары бойынша  аралас көбейтіндісін келесі түрде жазуға болады:

Енді егер  деп алсақ, онда 

Бұл нәтижені анықтауышты жол бойынша тікелей ашу арқылы алуға болады. Анықтауышты және де  түрінде де жазуға болады. Әрине бұл екі өрнек эквивалентті.

1.41. Бізде

.

Крамер ережесі бойынша

және (1.52) және (1.109) формулаларды пайдаланып:

тура осылай ;   .

1.42.  болсын, онда

 болсын, онда

, онда

1.43.  бас мәндерін анықтау үшін (1.132) формуласы бойынша

Айталық,  бас мәндеріне сәйкес келетін бірлік вектор компоненттірі. Онда (1.131) жүйесінің екі теңдеуі

 үшін (1.131) формуладан

 үшін

 бас осьтер  бастапқы оське қарағандағы орентациясы бағыттаушы сызықтар бойынша алады.

түрлендіру матрицасы.

.

1.44. Ортогональ болу үшін  шарты орындау керек.  болғанда бұл шарт автоматты түрде орындалады, себебі 2-мысал есепте пайдаланды. Есептің шешіміндегі кез келген жолдың сәйкес элементіне көбейтіп қоссақ,  үшін де бұл шартың орындалатынын көреміз.

Сонымен қоса жүйе оң болу үшін  болу керек. Сонымен

.

1.43 есептегі  шамасының алдындағы  таңбалары екі  және  бас осьтер жүйесі бар екенін білдіреді. Ал суреттен көрініп тұрғандай  бас бағыттары оң, ал – сол үштік құрайтынын көрсетеді.

1.45.  .

1.46. Дәлелдеуді  және  мәндеріне сәйкес келетін бағыттар үшін жүргіземіз. Олардың әрқайсысы үшін (1.129) қатынасы орындалады, яғни  және  .

Бұл теңдеудің біріншісін , екіншісін – ге көбейтейік:

 – симметриялы болғандықтан екінші теңдеудің сол жағындағы  және  мылқау индекстерін ауыстыруға болады.

 болғандықтан . Онда  бұл екі бағыттың ортогональдық шарты.

1.47.

Характеристикалық теңдеуі

.

Осыдан  Осыны (1.131) өрнекке қою арқылы және  екенін ескерсек, онда  үшін

T және T² бас бағыттары бірдей екені көрініп тұр.

1.48. Алдымен біз Т тензорның бас мәндері мен бас бағыттарын анықтаймыз. Тура 2.2-мысал есептегідей Т диагоналіның формуласын пайдаланамыз.

 түрлендіру матрицасы

онда  матрицасын пайдаланып  түрлендіруін пайдаланып бастапқы координаталар осіне қайтып ораламыз:

1.49. . Онда   болғандықтан . Екінші рет дифференциалдасақ. Егер  және .

1.50. а) (1.147) формулаға сәйкес, – ді  түрінде жазуға болады, онда  векторы . Бірақ  –  және  индекстері бойынша антисимметриялы, онда – да бұл индекстері бойынша симметрилы болады. Сонымен  – туындысы 0-ге айналады. Бұл нәтижеге  әрбір коэффицентін жеке-жеке табу арқылы келуге болады. Мысалы, .

b) себебі  және .

1.51. Ізделінді туынды  формуласы бойынша табылады. Сонымен

1.52. Егер  және – декарт координаталар жүйесі болса, онда  және . Онда біз

ал бұл үшінші рангілі декарт тензорының түрлендіру формуласы.

1.53. а)  векторының компонеттері  болады.

.

Осыдан .

б) .

1.54. (1.157) формула бойынша

.

1.55. Есептің шарты бойынша , яғни . Онда

себебі .

1.56. Бірінші қосылғыштағы скаляр және векторлық көбейтінділерді ауыстырайық. Онда

.

1.57.

1.58.  анықтауышын қарастырайық:

.

Жолдардың немесе бағандардың орын ауыстыруы, оның анықтауышының таңбасының өзгеруіне әкеледі. Мысалы:

Ал егер жолдары кез келген рет және бағаналарды кез келген рет ауыстырсақ

 немесе

Сонымен, жолдарды және бағаналарды тізбектей кез келген рет ауыстырсақ, онда

Егер  десек, онда . Теңдік дәлелденді.

1.59. 1.58 - есепте дәлелденген теңдіктегі анықтауышты бірінші жол бойынша ашайық:

а) деп алып келесіні аламыз:

б) «а» алынған нәтижеде  деп алсақ, онда

1.60. – ны  түрінде жазайық (жоғарыдағы есепке қараңыз). Онда

1.61. тензоры үшін характеристикалық теңдеу келесі түрде болады:

Гамильтон-Кэли теоремасы бойынша тензор өзінің характеристикалық теңдеуін қанағаттандыру керек. Яғни,  Бұл теңдеуді – ға көбейтіп  немсе – ді алыңыз. Осыдан

Бұл нәтижені  өзіне өзін көбейту арқылы тексереміз:

1.62. (1.103) бойынша , сонымен

а)

б)  

в)

1.63. (1.110) өрнегіміз бойынша  тензорының бивекторы  байқалады. Немесе , себебі  (және индекстері бойынша антисимметриялы, ал  және  индекстері симметирялы). Көрсетілген көбейтіндіні  түрінде жазуға болады. Мұнда , онда .

1.64. Тензорларды  және  түрінде жазайық. (1.31) бойынша . Ал (1.35) бойынша 

болғандықтан.

Егер соңғы өрнектегі   және  мылқау индекстердің орнын аустырсақ:

.

1.65. Айталық,  онда  немесе

Ал бұл  тең екенін көрсетеді.

1.66. Индекстік белгілеуде интеграл  түрінде болады. (1.157) формула бойынша ол келесі көлемдік интегралға ауыстырылады:

 тұрақты вектор болғандықтан, соңғы өрнекті келесі түрде түрлендіруге болады:

1.67. Суретте көрініп тұрғандай түрлендіру матрицасы

Ортогональдық шарты  немесе  әрине орындалады. Осыны матрицалық түрде (1.117) формуланы пайдаланып көрсетуге болады.

.

1.68.

Осыдан .